从《鱿鱼游戏》看纳什均衡

《鱿鱼游戏3》在6月27日上映了，随着李政宰老师的杀青，这场“真人版蛋仔派对”总算是有了一个阶段性的结束。后面第四季不管是转战美东开展破产红脖超级乱斗，还是转战美西上演小黑小墨互打手枪，估计都不会有啥浪花了。我之所以下这样的判断是因为，鱿鱼游戏爆火的关键点之一是其巧妙的关卡游戏设计，而有趣的关卡游戏设计是很难的。看完第三季一个很大的感触就是，编剧已经很难设计出更好、更吸引人的游戏了。因为不管是捉迷藏还是荡秋千亦或是推推乐，从游戏设计的角度来看这三个游戏都很难称之为“好游戏”。

那么我们不禁要问，一个好的游戏除了要有趣且简单之外，还要有什么要素才能让它被称之为“好游戏”呢？好的，我们今天借着《鱿鱼游戏》来看一下纳什均衡。

纯策略纳什均衡

首先我们先看看什么叫好游戏，从最经典的游戏“剪刀石头布”说起，剪刀石头布是一个经典的两人零和博弈，即一方的收益等于另一方的损失。此时我们假设玩家A和玩家B在玩剪刀石头布，那此时的收益矩阵如下：

	B: 石头	B: 布	B: 剪刀
A: 石头	0	-1	1
A: 布	1	0	-1
A: 剪刀	-1	1	0

此时双方可能的操作如下：

如果A选择出石头，B的最佳回应是布（因为B选布得1，选石头或剪刀得0或-1）。

如果B选择出布，A的最佳回应是剪刀（因为A选剪刀得1，选石头或布得-1或0）。

同理如果A选择剪刀，B的最佳回应是石头。

如果B选择石头，A的最佳回应是布。

可以看到，没有任何一个策略组合是双方互为最佳回应的。因此，剪刀石头布不存在传统意义上的纳什均衡，即不存在纯策略纳什均衡。

混合策略纳什均衡

但这时候如果我们让剪刀石头布成为一个N次决胜游戏，两人进行N次剪刀石头布，最后统计两人谁的获胜次数更多谁胜利，这时是否存在纳什均衡呢？

现在我们还是让小A和小B登场，此时小A的策略是每次都0.3概率剪刀、0.2概率石头、0.5概率布，小B的策略是0.4概率剪刀、0.4概率石头、0.2概率布，此时我们写个简单的程序模拟下两者的胜负情况：

import random
from collections import defaultdict


def throw_A():
    """A 的策略：1/3 剪刀，1/3 石头，1/3 布"""
    return random.choices(
        population=['剪刀', '石头', '布'],
        weights=[0.3, 0.2, 0.5],
        k=1
    )[0]


def throw_B():
    """B 的策略：0.4 剪刀，0.4 石头，0.2 布"""
    return random.choices(
        population=['剪刀', '石头', '布'],
        weights=[0.4, 0.4, 0.2],
        k=1
    )[0]


def judge(a, b):
    """返回 1 表示 A 赢，-1 表示 B 赢，0 表示平局"""
    if a == b:
        return 0
    win_cases = {('剪刀', '布'), ('石头', '剪刀'), ('布', '石头')}
    return 1 if (a, b) in win_cases else -1


def simulate(n_rounds: int):
    stats = defaultdict(int)  # 1, -1, 0 分别记录 A 胜、B 胜、平
    for i in range(1, n_rounds + 1):
        a = throw_A()
        b = throw_B()
        outcome = judge(a, b)
        stats[outcome] += 1

    print("\n===== 总计 =====")
    print(f"A 胜: {stats[1]} 次")
    print(f"B 胜: {stats[-1]} 次")
    print(f"平局: {stats[0]} 次")


# 运行示例：模拟 1000000 局
if __name__ == "__main__":
    N = 1000000
    simulate(N)

此时模拟一百万次，总计的胜负结果如下：

===== 总计 =====
A 胜: 339824 次
B 胜: 360147 次
平局: 300029 次

此时可以看到小B对小A产生了胜和优势，核心原因在于B的策略选择相对A产生了策略优势，此时A相对B的策略差计算如下:

E_A = 0.30(0·0.40 -1·0.40 +1·0.20)
    + 0.20(1·0.40 +0·0.40 -1·0.20)
    + 0.50(-1·0.40 +1·0.40 +0·0.20)

    = 0.30(-0.4 + 0.2)
    + 0.20(0.4 - 0.2)
    + 0.50(-0.4 + 0.4)

    = 0.30(-0.2) + 0.20(0.2) + 0.50(0)
    = -0.06 + 0.04 + 0
    = -0.02

可以看出来每局B相对A都有0.02分的优势，而这点优势在一百万局下来只有便产生了很明显的胜场差异。此时其实从策略差函数可以看出来，B如果知道A的概率分布选择，那他总是能找到一种策略让他战胜或者至少战平小A，小A反之亦然。

那此时小A有没有什么至少让自己立于不败之地的手段呢，此时我们让小A采用(1/3, 1/3, 1/3)的策略，我们假设小B的策略是 (q₁,q₂,q₃)，则此时A相对B的策略差计算为：

E_A = 1/3(0·q_1 -1·q_2 +1·q_3)
    + 1/3(1·q_1 +0·q_2 -1·q_3)
    + 1/3(-1·q_1 +1·q_2 +0·q_3)

    = 0.0

可以发现当小A的策略是(1/3, 1/3, 1/3)，他能让自己的胜率至少保证不处于劣势，当然坏处是也不可能存在优势。而小B也是同理，与其冒险设置一个可能被别人击败的策略，倒不如先让自己立身于不亏的状态。因此在彼此猜疑的情况下，小A和小B在这个游戏中会陷入一个纳什均衡点, 即：

• 小A的最优策略是，以(1/3, 1/3, 1/3)的概率出剪刀石头布。
• 小B的最优策略也是，以(1/3, 1/3, 1/3)的概率出剪刀石头布。

因此两人便形成了纳什均衡，而这种基于一定策略组合而非单一策略的情况下产生的均衡点，便是混合策略纳什均衡。而此时，这种有明确的纳什均衡点的游戏便不再具有趣味性，因为最优策略已经在数学层面上被定义好了，玩家只需要遵循即可。

重新看下鱿鱼游戏

让我们用纳什均衡的视角重新看一下鱿鱼游戏3中的各个游戏，捉迷藏、荡秋千与推推乐。

捉迷藏

我们需要分别分析A组和B组的策略，以及它们之间的互动。

A组的策略：
每个A组玩家必须在规定时间内至少杀死一名B组玩家。
可以追杀B组玩家，但B组可以反杀。
A组之间不能互相残杀。

B组的策略：
必须规定时间内找到迷宫出口。
可以躲避A组。
可以反杀A组。

4. 寻找纳什均衡点
   为了找到纳什均衡，我们需要考虑是否存在一组策略，使得任何玩家都无法通过单方面改变策略而获得更好的结果。
   可能的均衡策略：
   A组策略：
   每个A组玩家选择一个B组玩家作为目标，并追杀。
   如果B组玩家反杀，A组玩家可能会选择其他目标。
   B组策略：
   B组玩家可以选择躲避A组，同时寻找出口。
   或者B组玩家可以合作，集中反杀A组玩家。
   均衡分析：
   B组玩家的选择：
   如果B组玩家选择合作反杀A组，可能会减少A组玩家数量，从而降低A组的击杀成功率。
   但反杀A组需要消耗时间和资源，可能影响寻找出口的进度。
   A组玩家的选择：
   如果A组玩家分散追杀B组，可能会增加击杀率。
   但如果B组集中反杀，A组玩家可能会避免单独行动。
   关键点：
   所有A组玩家必须至少杀死一名B组玩家才能通关。
   所有B组玩家必须找到出口才能通关。
   如果A组玩家未能击杀B组玩家，则被淘汰。
   如果B组玩家未能找到出口，则被淘汰（无论是否被杀）。
   可能的均衡：
   A组玩家：每个A组玩家选择一个B组玩家作为目标，并确保能够击杀至少一个B组玩家。为了避免被反杀，A组玩家可能会选择分散追杀不同的B组玩家。
   B组玩家：为了最大化自己的生存概率，B组玩家可能会选择分散逃跑，避免被A组集中击杀。同时，B组玩家可能会尝试反杀A组玩家以减少A组数量，但这样会分散寻找出口的注意力。
   纳什均衡的存在：
   如果A组玩家和B组玩家都采取分散策略（A组分散追杀，B组分散逃跑和寻找出口），那么：
   对于A组玩家：如果其他A组玩家也分散追杀，自己无法通过改变策略（如集中追杀）获得更好的结果，因为B组玩家已经分散。
   对于B组玩家：如果其他B组玩家也分散逃跑，自己无法通过改变策略（如集中反杀）获得更好的结果，因为A组玩家已经分散。
   这种分散策略下，任何一方都无法通过单方面改变策略而获得更好的结果。因此，这是一个纳什均衡。
5. 验证均衡的稳定性
   让我们验证这个均衡是否稳定：
   A组玩家：
   如果某个A组玩家试图集中追杀多个B组玩家，可能会因为B组玩家的分散而无法有效击杀，且可能被反杀。
   因此，分散追杀是最优策略。
   B组玩家：
   如果某个B组玩家试图集中反杀A组玩家，可能会减少A组数量，但会牺牲寻找出口的时间，可能导致自己被淘汰。
   因此，分散逃跑和寻找出口是最优策略。
6. 其他可能的均衡
   另一种可能的均衡是：
   A组玩家：所有A组玩家集中追杀一个B组玩家，确保击杀。
   B组玩家：所有B组玩家集中反杀A组玩家，减少A组数量。
   然而，这种策略对于A组玩家来说风险较高，因为集中追杀一个B组玩家可能无法保证每个A组玩家都能击杀一个B组玩家（因为只有一个B组玩家被击杀）。因此，这种策略不是纳什均衡。
7. 结论
   最合理的纳什均衡是：
   A组玩家：每个A组玩家独立选择一个B组玩家作为目标，分散追杀。
   B组玩家：每个B组玩家独立选择逃跑路线，寻找出口，尽量避免被追杀。
   在这种策略下，任何一方都无法通过单方面改变策略而获得更好的结果。
8. 数学模型（简要）
   为了更形式化，可以构建以下模型：
   设A组有n个玩家，B组有m个玩家。
   A组玩家i的策略是选择一个B组玩家j进行追杀。
   B组玩家j的策略是选择逃跑和寻找出口的路径。
   纳什均衡的条件是：
   对于每个A组玩家i，给定其他A组玩家的追杀策略和B组玩家的逃跑策略，选择追杀某个B组玩家是最优的。
   对于每个B组玩家j，给定其他B组玩家的逃跑策略和A组玩家的追杀策略，选择逃跑和寻找出口的路径是最优的。
9. 实际限制
   在实际中，迷宫的复杂性、玩家的能力差异、信息不对称等因素可能影响均衡的实现。但从理论上看，分散策略是一个稳定的纳什均衡。
10. 最终答案
    是的，这个游戏存在纳什均衡点。
    纳什均衡策略如下：
    A组玩家：每个A组玩家独立选择一个B组玩家作为目标，分散追杀，确保自己能够击杀至少一个B组玩家。
    B组玩家：每个B组玩家独立选择逃跑路线，专注于寻找迷宫出口，避免被A组玩家追杀。
    在这种策略组合下，任何单个玩家都无法通过单方面改变自己的策略而获得更好的结果。

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